レイと球の衝突判定

コード例

let oc = ray.origin - self.position;
let a = ray.direction.length_squared();
let half_b = oc.dot(ray.direction);
let c = oc.length_squared() - self.radius * self.radius;
let discriminant = half_b * half_b - a * c;

準備する方程式
- 球の方程式: $(P - C)・(P - C) = r^2$ $(P - C) ・ (P - C) = r^{2}$
  - P: 球の表面上の点
  - C: 球の中心
  - r: 球の半径
- レイの方程式: $P = A + tb$ $P = A + t b$
  - A: レイの始点
  - b: レイの方向ベクトル
  - t: 始点Aからの距離
- レイの方程式が表すのは、「始点 A から b 方向に t だけ進んだ位置にある点」となる。この点 P が球の表面上にもある、というのが「衝突」を意味する。
代入して t の方程式を作る

球の方程式に含まれる P をレイの方程式 A + tb で置き換える。

$((A+tb)−C)⋅((A+tb)−C)=r^2$

この式の目的は、未知数 t を見つけ出すことである。t の値が分かれば、P = A + tb に代入して交点の座標を特定できる。
展開して整理する

この方程式を t についての二次方程式 at^2 + bt + c = 0 の形に整理していく。

まず、式を少し並べ替える。

$((A−C)+tb)⋅((A−C)+tb)=r^2$

ドット積を展開する（分配法則が使える）。

$(tb)⋅(tb)+2(tb)⋅(A−C)+(A−C)⋅(A−C)=r^2$

t を外に出して整理する。

$(b⋅b)t^2+2(b⋅(A−C))t+(A−C)⋅(A−C)−r^2=0$

これで、 $at^2 + bt + c = 0$ の形になった。それぞれの係数は以下のようになる。
- $a = b・b$
- $b = 2(b・(A - C))$
- $c = (A - C)・(A - C) - r^2$
t について解く

この二次方程式を解の公式を使って解くことで、t の値を求めることができる。
- 解が2つ: レイが球を貫通する（入口と出口の2点で交差）。
- 解が1つ (重解): レイが球の表面に接する。
- 実数解なし: レイは球に当たらず、通り過ぎる。

t の値が求まれば、それがレイの始点から交点までの距離となる。通常は、正の最小値の t を採用して、最も近い交点の座標 P を計算する。